Mathemetics and Humanities


何为好数学? 节选


-- 上野健尔杨宝山叶玲 译)

上野健尔(Kenji Ueno),著名代数几何学家,京都大学数学系名誉教授,日本数学协会会长,关孝和数学研究所所长。


引言


好数学之含义随数学之发展一直在变化着,此话题亦和好教科书与好老师相关。我想从以下几个观点来论述。


复数和复分析


何为好数学?可以分为两种不同类型:针对学习而言,何为好数学;以及针对研究而言,何为好数学。当然,此两种类型亦是彼此相关联的。 好数学之概念随数学之发展一直在改变。例如,虚数是卡尔达诺(Cardano, 1501—1576)在其名著《大术》(Ars Magna) 中首次引入的。为了求解两个数,其和、其积依次为10、40,而引入虚数(第37章,法则2),这令当时数学家很困惑。卡尔达诺本人对于虚数的实际意义也很犹豫,他写道:

“虚数就是这样可以像通常一样进行算术运算,这些令人感到神秘的最后结果犹如其名,真是又精致又不中用。”

奇怪的是,虽然《大术》主要致力于3次方程和4次方程的解法,但是他却没有考虑3次方程的虚数解,从而使他错过了发现虚数的重要性和有用性。不久,邦贝利 (Bombelli, 1526—1572)受卡尔达诺著作的激励,利用虚数完整地发展了3次方程理论。甚至,他用虚数还发现常用数的一些奇怪表达式,譬如 $$ 4=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}, $$ 其中$i$是虚数单位。因为 $$ (2+i)^3=2+11i\hbox{,}\quad (2-i)^3=2-11i\hbox{,} $$ 两边开立方便知,上述等式成立。

邦贝利的著作《代数》(L'Algebra)在整个欧洲数学家中受到广泛重视,其著作明确呈现出虚数在解代数方程中的重要性。 但是,却没有多少数学家愿意接受虚数确实是数。

欧拉(Euler, 1707—1783)是个例外。他自由地使用复数并发现一些优美公式,譬如 $$ e^{2\pi i}=1. $$

即使欧拉已经发现许多关于复数的有趣结果,仍然很少有数学家认识到复数是数。因此,在1799年,高斯 (Gauss, 1777—1855)写作他的关于代数基本定理的论文,此文陈述了任何具有复系数的方程在复数范围内均有一个根的理论, 他避免了利用复数来陈述代数基本定理。取而代之,他将定理改写为,任何具有实系数的方程均可以分解为1次、2次不可约多项式的乘积。

完全意识到复数之重要性是在柯西(Cauchy, 1789—1857)发现复变函数论(复分析)和黎曼(Riemann, 1826—1866)建立代数函数论以及黎曼曲面论之后的事。 经过300余年,几乎所有数学家才认识到复数确实是数。

故事还在继续,在20世纪30年代量子力学诞生时,物理学家发现复数的使用是非常关键的。如此一来,复数不仅在数学的许多不同领域扮演着重要角色, 在物理学依然如此。现在,复分析学已经成为最漂亮的数学学习课题之一。

可以想象,在高斯的时代就很难说,涉及复数的数学是好数学。你必须在数学上有好的直觉和鉴赏力才行。因此,历史上仅有柯西和黎曼才会深入研究复数。这告诉我们, 可供研究的好数学实际上依赖于不同的人。只有随后的数学发展才能证明你当初的选择成功与否。这也告诉我们,只要你对某个课题非常感兴趣,它对你来说就是好数学。


好教科书


节选部分结束


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第11辑:好的数学

主编:丘成桐;刘克峰;杨乐;季理真
副主编:曲安京
出版时间:2013-10

本辑的主打栏目,通过著名数学家上野健尔先生、著名数学史家Jeremy Gray、沃尔夫奖得主V.I. Arnol'd和波尔约奖得主Yuri I. Manin的文章,就这个有趣的问题谈了他们的看法。张益唐教授在孪生素数猜想方面取得的突破性进展,在过去的几个月引起了数学界的极大关注。本辑开篇刊载了齐雅格的文章,从一个音乐家朋友的角度讲述了张益唐“寂寞的求索,孤独的壮举”。据说去年夏天的某个下午,张益唐在齐雅格家的后院中抽烟时,有如神明启示般地想出了证明方案的主要思路。“数学机构”栏目首先记述了浙江大学数学科学研究中心成立的相关情况,然后全方位介绍了京都大学数理解析研究所、美国数学研究所及高等研究院数学学院这三所世界知名数学研究机构的成立、发展以及运作等情况,同时也展示了这三所机构对20世纪数学的重要影响。“数学星空”栏目刊载了丘成桐先生追忆龚昇教授的掉念词、介绍其生平与主要数学成就的文章,以及纪念调和分析大师亨利·赫尔森(Henry Helson)教授的系列文章。“数学科学”栏目专文介绍了青年数学家田野在数论领域的一项新的成就,以及意大利代数几何学家Federigo Enriques的生平与工作。