柴俊，华东师范大学数学系教授。曾任华东师范大学数学系副系主任和国家理科人才培养基地负责人。现任“中国高等教育学会教育数学专业委员会”副理事长，“高等学校大学数学教学研究与发展中心”学术委员会委员。从事大学数学教育、应用数学的研究，近年来在全国各类杂志上发表大学数学教育和金融数学研究论文30多篇，出版数学教育专著2部，主编各类本科生教材11部，参与编写1部。参与和主持多项自然科学基金、教育部教改项目和华东师大教改项目。2004年获宝钢优秀教师奖。作为主要参与者，于2001年和2005年两次获国家级教学成果二等奖。

一、引言

美国的微积分教学在二战之后发生了很大的变革。进行变革的原因很大程度上是由于高等院校招生数量的扩大，需要教授更多的学生而探索新 的教学方法所引起的。特别是上世纪60年代到70年代中期，美国大学的注册人数增加了近三倍，扩招导致很多学生无法充分理解教材。加上这段时间新技术的 涌现，其他应用学科对数学的需要，触发了美国微积分改革运动【注：这个改革实际上是教学内容和教学方法的改革。从我们现在的 角度看，称为“微积分教学改革”更合适。但美国数学界始终称其为“微积分改革”(calculus reform)，所以下面 还是用“微积分改革”这个词，以保持历史原样】。1987年美国国家科学基金会(NSF) 立项支持改革，为研究和发展新型微积分教科书和教学方法提供了财力支持。

为了更好了解美国的微积分教学，先对美国的高校体制和招生做简单介绍。

1. 美国的高校制度和招生情况

美国高校可以分为四类，分别为：研究性大学、文理学院、综合性大学以及社区学院。

我们了解最多的是研究性大学(research universities)，如熟知的哈佛大学、斯坦福大学、麻省理工学院(MIT) 等等都是 研究性大学。研究性大学通常在很多学科有博士培养计划，以科研为主要特色。我国的北京大学、清华大学、复旦大学以及笔者工作的华东师范大学 都可以类比美国的研究性大学。这样的学校一般本科生招生数量比较大，一年级学生大班上课是这类大学的普遍情况，为了帮助 学习，学生有机会与助教进行单独交谈。

文理学院(liberal arts colleges) 是四年制本科学院，这类大学与研究性大学最大的区别是强调教学，一般没有研究生培养计划。目前，我国还没有类似的 高校。在本科教学方面，文理学院通常与研究性大学有相同的竞争力，每年都会吸引一些美国最优秀的高中毕业生。这类学院一般 很小（在校生通常不超过2000人），而且都是私立的，学费昂贵。如笔者曾经访问过的Swarthmore 学院就是这类大学。Swarthmore学院建于1864年，是一所 有近150年历史的私立大学，位于宾夕法尼亚州，学院占地425英亩，教学设施先进，在全美文理学院的排名保持在前三位。由于校董事会长期实行限制学校 规模的政策，学校规模一直维持在很低的水平，2012年的在校生为1545人，专职教师166人（学校还聘请了一些兼职教师），学生教师比 仅为$8:1$，百分之八十的教学班是不到30人的小班，本科教学质量不输于名校。这类院校吸引学生的一个重要原因是他们能从教授那里 获取更多（与研究性大学相比）的个人辅导。

综合性大学(comprehensive universities) 也是四年制的大学，除了本科教学，一般只在部分专业有硕士培养计划，学生来自当地，类似于我国的 地方大学。这些大学的学科实力相对较弱，一般只有个别学科有较强实力，比如笔者曾经访问过的Arcadia大学（位于宾夕法尼亚州费城的 郊区），学校的理疗硕士课程在美国位居第八，其他学科则实力平平。

社区学院(community colleges) 是两年制的高校，基本与我国的大专高职院校类似。这些学院的学生可以在两年的学习之后选择 是否进入四年制大学学习。这类学院收费较其他类学校低，入学竞争也不激烈，因此吸引了大量学生。

根据美国人口统计局的数据，美国高校的注册人数1965年为348万，到了1975年增加到了970万，1985年是1086万，2002年增加到1650万，2010年更是达到了2100万。入学人数的 激增，使得各个微积分教学班的学生数（主要在大型的大学中）也同样急剧增加，由此，微积分不及格的学生人数（以及百分比）也在增加。这是引发美国1985年开始的微积分改革的主要原因。

2. AP微积分计划

AP微积分计划开始于上世纪50年代，而得到广泛认同却是在高校入学人数急剧增加的60年代后期。

AP全称是Advanced Placement，现在国内普遍翻译成“大学预修课程”，是美国“大学理事会”(college board) 主持，美国教育 考试中心(ETS) 组织出题和考试。AP计划除微积分外，还有包括计算机科学、经济学、物理、化学、生物在内的30多门课程。AP计划是为优秀 高中学生提供成才途径的培养方案，该计划让美国数百万仍在高中学习的学生接受大学水平的课程和考试，并且能在进入大学时获得 大学学分或免修这些课程的资格。AP微积分计划分两类：一是微积分AB，它涵盖美国一学期的学习内容；第二类是微积分BC，包含两个学期的 内容。大部分的美国数学专业的学生在进入高等学院时就已经学过至少一个学期的基本微积分知识。

AB与BC的区别在于内容有所不同。AB包含极限与单变量微积分，BC在AB基本内容的基础上进行了拓展，并增加了级数。在相同的 知识点上，两者所要求的理解上的深度是一致的。

AP微积分是供高中学生学习，但是是作为一门大学水平的课程来讲授的。考试由专门的机构组织，考试成绩得到绝大多数美国高校的 认可（各个高校对待AP课程的政策都会在学校的网上公布）。

最近几年，我国有一些高中开始引入了AP课程，数量增加很快。社会办学机构开设AP课程的就更多了，这些课程能够帮助我国高中生申请 入读美国高校。当然还有经济利益的驱动。

二、AP微积分的具体内容，中美高中微积分的比较

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