张奠宙，华东师范大学数学系教授，中国数学史家，数学家。曾任国际数学教育委员会的执行委员， 1999年当选为国际欧亚科学院院士。在数学史和数学教育方面的工作尤为著名。数学研究主要在泛函分析领域。

局部与整体，是一对哲学范畴。要了解微积分，还真需要一点哲学思考。事实上，理解函数的局部性态，并与函数的整体性质 相联系，乃是领悟微积分思想方法精髓的重要一环。

整体微分几何的奠基者、数学大师陈省身说过【注：《陈省身文集》第57页，上海：华东师范大学出版社，2002】：“微分几何本来是 从研究局部性质开始的，到了1940年代趋向整体是一个自然的趋势。在了解了局部性质以后，自然想知道它们的整体性质的 含义。令人意想不到的是，有整体意义的几何现象在局部上也特别美妙。”

这是局部与整体数学观念的一个深刻的概括。

微积分的基本概念是极限。极限正是为处理局部才生成的。

让我们先来看切线问题——微分学的几何模型。众所周知，想要在一条曲线的某一点$P$画出该点上的切线，只凭这一点所在的位置是 画不出来的。我们必须在点$P$的附近取一点$Q$，作割线$PQ$，然后让$Q$无限接近于$P$，割线$PQ$的极限位置就是 切线。这里我们用到“附近”一词。所谓$P$的附近，是指不同于$P$，但与$P$的距离可以无限小的 那些点。“附近”、“邻域”、“周围”等词所指的局部，有一些朦胧的含义。附近，有多近？邻域，相邻多远？都不 固定，小大由之，及至无限小。局部没有大小可言，正是“局部”的哲学意味所在。

历史上，有所谓“飞矢不动”的说法。古希腊哲学家芝诺和他的学生有如下的对话：

“一支射出的箭是动的还是不动的？”

“那还用说，当然是动的。”

“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”

“这一时刻在这里是不动的！老师。”

“这一瞬间是不动的，那么在其他瞬间呢？”

“其他时刻不在这里，这里也是不动的，老师。”

“所以，射出去的箭是不动的。”

这就是说，孤立地仅就一个时刻而言，物体没有动。但是物体运动有其前因后果，可以由前后位置的比较反映出运动 状态，从而产生速度。于是，人们就很自然地先求出物体在该时刻与附近某时刻之间的平均速度，然后令时间间隔 趋向于0，以平均速度的极限作为瞬时速度。和切线问题一样，也是要考察一个“无穷小”的附近。微积分学通过 考察一点的附近，超越了“飞矢不动”的诡辩，揭开了瞬时速度的神秘面纱。对“局部”性质的考察，显示了微分学的 深刻与美妙。

“局部”的思想，其实并不神秘，在日常生活里也有类似的观念。科学地看待事物，就会注意到事物的单元并非一个个 孤立的点，而是一个有内涵的局部。人体由细胞构成，物体由分子构成。社会由小的局部——家庭构成。所以，我们的 户口以家庭为单位。由于中国社会也可以看作由许多乡镇构成，所以费孝通的“江村调查”，以解剖一个乡村观察整体，竟成为 中国社会学的经典之作。

如何考察一个人？孤立地考察一个人是不行的。看人，要问他/她的身世、家庭、学历、社会关系等等。但是，考察一个人的 周围关系，其范围要多大？并不一定，也是小大由之。一个人的成长，大的局部可以是社会变动、乡土文化、学校影响，小的可以是 某老师、某熟人，再小些仅限父母家庭。各人的环境是不同的。这和数学上的“局部”一样，也具有模糊、朦胧的特性。

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