威廉·本特(William Benter)，现任美国Acusis LLC公司主席和国际总裁。他是一位著名慈善家。 本特先生出生和成长在宾夕法尼亚的匹兹堡，曾在英国布 里斯托大学和匹兹堡大学学习。
本文中我将介绍以下三个方面的内容：
(1)赌博如何推动了概率论的研究？
(2)可以用来描述大多数与赌博有关现象的三个关键的数学概念；
(3)现代数学家对于赌博问题的贡献。
1654年，一位著名的赌徒梅雷(Chevalier de Mere)被一个简单的掷骰子问题难住了：掷一枚骰子4次至少出现一次6点是 有利的，而掷一对骰子24次至少出现一次双6是有利的。他于是向他的朋友、法国数学家帕斯卡请教。帕斯卡受到梅雷提出的问题的 启发，开始与另一位数学家费马通信讨论这个问题。当时显然还没有哪种数学理论可以解释这些现象。帕斯卡与费马的工作最终导致了概率论的 诞生。
与随机现象密切相关的三个重要数学概念是：概率、数学期望和大数定律。
先介绍概率的定义，假设一次游戏有$n$种可能性相同的结局，其中$m$种结局代表获胜，那么获胜的概率 就是$P=\frac{m}{n}$。当我们做$n$次实验（其中$n$ 足够大），出现某个特定事件的次数是$m$，那么比例$\frac{m}{n}$就称为 事件的相对频率，记为$P=\lim_{n\to\infty}\frac{m}{n}$。
再来看一下数学期望，这个概念最早是由荷兰数学家惠更斯提出的，定义如下 $$ E(X)=p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n=\sum_{i=1}^np_ix_i. $$
一次投注的数学期望可以按如下公式计算 $$ E=p\,(\hbox{获利})+(1-p)\,(\hbox{亏本}). $$ 比如，轮盘赌共有38格，每次投入1元，只有转中一格可以获利，每次获利是35元，那么从每次游戏中获利的数学期望就是 $$ (1/38)(35)+(37/38)(-1)=-0.0526\,\hbox{元}. $$
数学期望是可以相加的 $$ E(X_1+X_2+\cdots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n). $$
定律：要想在赌博中长期获利的唯一办法，就是要保证净期望值是正的。
下面我们谈一下大数定律，赌博通常就是一个特定游戏的系列重复。只有两个结果（“成功”和“失败”）的独立重复实验被称为 伯努利实验。这是为了纪念17世纪著名数学家雅克布·伯努利。它的分布函数是 $$ b(n,k,p)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}. $$
当实验的次数不断增加，实验成功的比例就会确定地趋向于一个给定值。
我们总结上述三个概念如下：
(1)把事件的发生机会表述成概率，这就使得我们可以对任意的投注进行数学上的分析；
(2)数学期望的可加性使得我们可以计算一系列投注的总期望值；
(3)大数定律保证了最后的结果总是趋向于一个可以预先计算的结果。
我们再来谈一下现代的概率论研究。虽然基本的问题在17世纪就已经得到了解决，但是概率论还是不断地得到充实和发展。基于计算机的数学技巧被用来寻找游戏获胜的 秘诀，这在以前是不可想象的。
虽然上个世纪的概率论在纯解析方法上鲜有突破，可是凯利(Kelly)公式是个例外。20世纪50年代就职于贝尔实验室的凯利是信息传输理论方面的专家，他注意到他的 发现可以应用于研究赌博。他给出了投注问题的一种解法。他的结果被事实证明具有很广的适用性，被现代的许多职业赌徒所采用。下注者赌本的增长率$G$由如下公式给出： $$ G=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log\frac{x_n}{x_0}, $$ 其中$x_0$是初始赌本，$x_n$是$n$次下注后的赌本。
大家应该都听说过“21点”的扑克游戏吧。游戏的目标是使得牌面的数值总和尽可能接近21，但是决不能超过21。这对技巧和运气都有很高的 要求，这个游戏已经风靡70多年了。
我们可以用计算机对这个游戏进行辅助分析，由于“21 点”游戏可能出现的情形多得难以用手工计数，所以只能用计算机模拟来推导最优策略和计算 数学期望。
1962年加州大学的索普(Edward Thorp)教授出版了著作《击败庄家》。其中用严格的数学论证给出了“21点”游戏的获胜策略，这也是将计算机辅助分析引入到 随机游戏研究的开端。
赛马是一项深受大众喜爱的运动，许多人花费了大量的精力来详细探究其中的获胜策略，说穿了就是要准确估计每一匹赛马的获胜概率。与掷骰子和纸牌游戏 不同的是，赛马需要对现实中的现象进行建模。
把赛马中的各种不同的因素量化以后输入到预测模型中，输出值就是每匹赛马获胜的概率。当然，每次赛马中所有马匹的获胜概率之和应该等于1。
赌徒们可以自豪地宣称自己是概率论的教父，因为正是他们激发了赌博与数学的相互影响，并为概率论研究的发展提供了强大的动力。
爱泼斯坦(Richard Epstein)
【编者按：本文整理自作者在2004年第三届国际华人数学家大会期间的公众演讲。】
