席南华，中国科学院院士，中科院数学与系统科学研究院学术院长，中国科学院大学副校长。研究代数群与量子群，对仿射A型外尔群证明了路兹梯格关于双边胞腔的基环的 猜想，确定了德林-朗兰兹关于仿射赫克代数的猜想成立的充要条件，与路兹梯格合作发现典范左胞腔，在量子群的表示和基的研究 上开展了系统深入的工作。
我们常常喜欢了解数学的前沿，那里给人的印象都是高深的数学。其实，前沿和高深的数学都是围绕基本 问题展开的。很多基本的问题都来自简单的数学。这里我想用一些例子说明简单的数学其实与高深的数学有着 密切的关系，简单的数学能帮助我们认识一些高深和前沿数学的根基是什么。
学数学一般都开始于数$1,2,3,4,\cdots$，然后有加法、减法等，下面我们从数的排队开始说起。在幼儿园里孩子们首先要 学会做的事情之一是排队。这很合理，因为生活中很多时候都需要秩序。不过排队却是一个非常复杂的 问题。比方说三个数$1,2,3$排队就有6种可能。全中国的人放在一起排队的排法是一个天文数字。排队这件事情并 不简单，里面有着丰富的数学内容。而且，特别有意思的是排队之中有结构。要认识这个结构，我们需要换一个角度来 看排队。排队其实是一个映射，可以看成是自身到自身的映射。比如说，$1,2,3$的一个排队231的含义是第一个位置排2，第二个 位置排3，第三个位置排1，所以排队231可以看成从集合$\{1,2,3\}$到自身的 映射$f_{231}:1\to 2,2\to 3,3\to 1$。重新排队就是两个映射的合成，是一种运算，例如把231重新排回123可以看作是 映射$f_{231}$与$f_{312}$的合成：$1\to 2\to 1,2\to 3\to 2,3\to 1\to 3$，即$f_{312}\circ f_{231}=f_{123}$。排队中的这种运算 有结合律，在$1,2,3$的六个排队中，123有些特别，它与其他任何一个排队做合成运算还是那个排队。当然，$1,2,3$的每一个排队都可以经过一 次重新排队成为123。实际上我们已经接触到了数学中一个极重要的概念——群，$1,2,3$的六个排队在映射合成运算 下成为群，称为三个数字或三个字母的对称群。
一般说来，集合$G$称为一个群，如果它有一个二元运算，满足结合律，有一个单位元，每个元素都有逆元。即对集合$G$的任意两个元素$a,b\in G$，在$G$中有 相应的元素$a\cdot b$；结合律是指$a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$；有一个单位元是指$G$中有一个元素$e$，使得对$G$中的 任意元素$a$，有$e\cdot a=a\cdot e=a$；每个元素存在逆元是指对$G$中任意元素$a$，存在$G$中的元素$b$使得$a\cdot b=b\cdot a=e$。
群很常见，例子很多，如整数集对于加法成为群，单位元是0；非零有理数全体对于乘法成为群，单位元是1；$n$阶可逆实方阵对于矩阵乘法成 为群，单位元是单位矩阵；$1,2,\cdots,n$的排队（或排列）有$n!$个，在映射合成下成为群，称为$n$个数字或文字的对称群，也称为 置换群，常记作$S_n$。
一件意想不到的事情是对称群和解多项式方程有极大的关系。
在历史上解方程当然是很重要的事情。最简单的多项式方程是一元一次方程，现在小学生都会解。早在公元前2000年巴比伦人就会解 一元二次方程，现在是初中生要学的。一元三次方程和一元四次方程的根式解在15、16世纪时由意大利人发现【在三次方程的求解史上，我国唐代初期的 数学家王孝通的工作有重要地位，其著作《缉古算经》建立并求解了二十多个一元三次方程。（作者感谢本文的审阅专家指出这个 史实，对于其他的建议如增加一些文献等在此一并致谢。）】，不过相当复杂，好像中学生并不要求掌握，估计一般人也未必记得这些 公式。接下来人们想得到更高次方程的根式解，为此事数学家忙了很长时间，花了很大的力气，其中包括伟大的数学家Lagrange，但都 失败了。原来答案是否定的。1824年，挪威数学家Abel证明了五次和更高次的一元多项式方程一般没有根式解【N.-H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l'impossibilité de la résolurion de l'équation générale du cinquième degré. Christiania: Groendahl, 1824, 7 pages.】。这个结论有时也叫Abel-Ruffini定理，因为Ruffini在1799年几乎证明了 这个定理，不过他的论证有漏洞。这个结果出乎人们意料。几年后法国数学家Galois找到证明这个定理更好的方法，实际上他的方法导出了 更彻底的结果：给出了一元多项式方程何时有根式解的准则。Galois发现一个方程的根的排列关系是非常重要的。在这里他引出了群的 概念，对每一个一元多项式，有相应的群。一个方程有根式解当且仅当这个群可解。Galois发现对次数为$n$的一般多项式，相应的群是我们刚才提到的 对称群$S_n$，而当$n$大于等于5时，这个对称群是不可解的。正是这个不可解性导致了方程的根式不可解。我们刚才所讨论的结论一部分可以表述如下：
定理 (1)如果$n\ge5$，则$n$个文字的对称群$S_n$不可解（Galois）。
(2)五次或更高次的一元多项式方程一般没有根式解（Abel-Ruffini）。
Galois的工作影响是非常深远的，群论由此诞生，成为数学的一个重要分支，深深地影响了以后的 数学发展。Galois是才华横溢的数学家，在20岁那年跟人决斗，不幸英年早逝，给数学的发展带来 巨大的损失。有些证据让人推测Galois的决斗与其情人有关，所以你们如果哪天失恋的话，千万要记着，冷静，不然数学的事业会受到 很大的损失。Abel的命运也是比较悲惨的，他贫困交加，虽然非常有才华，但是在27岁时就因病去世了。数学里有很多以Abel命名的 重要对象，如Abel群、Abel簇、Abel范畴、Abel函数等。挪威在2002年设立了Abel数学奖以纪念这位伟大的数学家，每年奖励 一两位数学家，奖金高达约一百万美元。
在当今社会数学家的命运要好得多【Sarah E. Needleman, Doing the Math to Find the Good Jobs-Mathematicians Land Top Spot in New Ranking of Best and Worst Occupations in the U.S., The Wall Street Journal, January 6, 2009.】， 生活没有什么风险，收入也非常稳定【在http://www.careercast.com/jobs-rated/jobs-rated-2009-comprehensive-ranking-200-different-jobs上可以看到美国2009年的 职业排行，并提供了下一年的职业排行链接。】，虽然不会成为富豪，但是会非常愉快，能做自己喜欢的事情，在其他国家有很多朋友和同行，有很多时间 旅行，也不用带什么实验设备，不过别忘了带着你的爱人，不然你会寂寞的。
前面定理中的对称群$S_n$是作为一个一元$n$次方程的Galois群出现的，从而群的不可解性导致相应的方程没有根式解。Galois群是 数学里非常重要的概念。我们对这一点要多说几句。把所有一元整系数多项式的根全部拿来放到一起，这就构成一个 集合，一般记作$\bar{\mathbb{Q}}$，显然它包含有理数集。集合$\bar{\mathbb{Q}}$中的非零数的逆在这个 集合中，任意两个数的和、差、积还在这个集合中，所以是一个域，称为有理数域的代数闭包。在中学我们学过 多项式函数、指数函数、三角函数、对数函数等。这里我们考虑域$\bar{\mathbb{Q}}$上一些特别但又自然的函数$f:\bar{\mathbb{Q}}\to\bar{\mathbb{Q}}$，它们保持加法和 乘法，即有 $$ f(a+b)=f(a)+f(b),\quad f(ab)=f(a)f(b),\quad f(1)=1. $$ 所有这种函数的全体一般记作Gal$(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$，称为有理数域的绝对Galois群，是代数数论研究的 中心对象之一，很多重要的工作和这个群都有关系，如在20世纪末Wiles对Fermat大定理的著名证明中起着关键的 作用，也还有很多未解决的重要问题，如Langlands纲领中的一些问题，著名的Shafarevich猜想等。这是由简单 数学导出来的一些高深的数学。
数字的出现无疑与计数有关。计数有时很简单，比如集合{甲，乙，丙}含有三个元素，$n$个数$1,2,\cdots,n$的排列数是$n!$；有时很 不容易，如一个国家的人口数很难得到准确的值。计数是组合数学研究的问题。不管怎么说，对有限集，理论上计数是件简单的事情，一个 一个数就行了。但对无限集事情就比较麻烦，比如有理数和无理数谁多呢？如果你有一个面积无限的王国，增加或损失几百万平方千米的 国土对你都无所谓。或许你们读过伽莫夫的科普作品《从一到无穷大》，从中可以知道如果一个旅店有无穷多间 客房，哪怕住满了客人，仍能安排一个新来的客人：把原来住1号房的客人换到2号房，住2号房的客人换到3号房，……，这样1号房就可以 空出来给新来的客人住了。如果一个旅店的客房数有限，这样的事情就办不到了。这些事实表明有限的世界和无限的世界有本质的不同。
怎样比较无限的集合呢？我们不能像有限集那样斤斤计较多一个元素少一个元素，那不是无限的本质。德国数学家Cantor找到了比较无限集大小的 办法，建立了集合论。Cantor利用映射来比较集合的多少，这个办法对有限集和无限集都管用。Cantor利用一一映射建立了等势的 概念。一个从集合$A$到集合$B$的映射称为一一映射，如果它把不同的元素映到不同的元素，并且$B$里的每个元素都有$A$里的元素映过来。两个集合称为等势，如果它们 之间有一一映射。两个有限集等势的充要条件是它们所含的元素的个数一样。对无限集，等势是个有趣的概念，准确把握了无限的本质，忽略了次要的因素。等势的集合 只是表明两者势力相当，犹如兵来将挡、水来土掩，不表明两者有一样多的元素。实际上一个无限集可以和它的子集等势，如整数集和自然数集等势，它们之 间的一一映射可以构造如下：0映到0，负整数$a$映到正奇数$2|a|-1$，正整数$a$映到正偶数$2a$。与自然数集或它的子集等势的集合称为 可数集。这是一个容易理解的概念。下面这个很有意思的结果是Cantor证明的。
定理(Cantor，1874) (1)有理数集是可数集。
(2)有理数域的代数闭包$\bar{\mathbb{Q}}$是可数集。
(3)实数集不是可数集。
1877年，在一封给Dedekind的信中Cantor还证明了单位线段中的点集和$n$维空间的所有点集等势，特别是实数和 复数等势。我们来看一下这个定理的一些含义。有理数显然比自然数多得多，但居然是可数的，数的时候要 小心，不然会数得乱糟糟。下面给出一种数的办法，每个非零有理数都可以写成两个 整数$a$和$b$的商$a/b$，其中$a$和$b$没有大于1的公因子。于是有理数可以先按$a$和$b$的绝对值的和的 大小分成若干部分排序，每一部分再数，所以一种数法是： \begin{eqnarray*} &0,1,-1,1/2,2,-1/2,-2,1/3,3,-1/3,-3,&\\ &1/4,2/3,3/2,4,-1/4,-2/3,-3/2,-4,\cdots.& \end{eqnarray*}
有理数的代数闭包$\bar{\mathbb{Q}}$中的数无疑比有理数多得多，居然也是可数的，这很容易让人感到惊讶。想想看，对每一个正的有 理数$a$，都能通过开方衍生出无限个无理数，即无穷数列$a,a^{\frac{1}{2}},a^{\frac{1}{3}},\cdots,a^{\frac{1}{n}},\cdots$中除有限个 外都是无理数。这有点像现实世界，每一件合理的事情都有无限个不合理的事情相伴，一个结论就是现实世界中无理和不公平的事情总比有理和公平的事情多。
一个复数称为代数数，如果它是某个整系数的一元多项式的根，否则称为超越数。断言某个数是超越数远非易事，实际上，直到1844年才 由Liouville证明了超越数的存在性，1851年他给出了首批超越数，其中一个是$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}10^{-k!}$。最重要的 超越数可能是圆周率$\pi$和Euler数${\rm e}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}$，$\pi$的超越性由Lindeman于1882年 证明，${\rm e}$的超越性由Hermite于1873年证明。
上面定理的（2）和（3）表明超越数不仅存在，而且比代数数多得多，不在一个量级上，虽然这个定理没有指出一个 超越数。这很有意思，它显示了等势这个概念的威力，告诉我们恰当的概念能深刻揭示事情的本质，引导我们前行。
Cantor建立的集合论已成为现代数学的基础。德国人在19世纪和20世纪初为数学和物理学做出巨大的贡献，在概念和 思维方式上都有很多的突破。也许德国深刻的哲学起了很大的作用，有时间看一看Leibniz、Kant等人的哲学著作是很有益处的。
上面的定理引出一个很自然的问题：在自然数全体和实数全体中，有没有一个集合，它既不可数（即不与自然数集等势），也不与实数集 等势。1878年Cantor提出了连续统假设：这样的集合不存在，也就是说，不存在一个集合，它的势比自然数集的势大，但比实数集的 势小，犹如在1和2之间不存在整数。存在或不存在之类的问题对数学而言常常是很重要的，虽然可能不会像莎士比亚的 戏剧《哈姆雷特》中的“to be or not to be”那么重要。连续统假设是那么自然的一个问题，很能吸引我们的好奇心。1900年，在巴黎举行的国际 数学家大会上，Hilbert提出了著名的23个未解决的数学问题，连续统假设排在第一个。
Gödel，伟大的奥地利数理逻辑学家，在1940年证明了连续统假设与我们平常用的公理体系是没有矛盾的，即连续统假设 与Zermelo-Fraenkel集合论无矛盾。没有矛盾，并不意味着它是对的。1963年Cohen建立了强有力的方法——力迫法，用这个方法 他证明了连续统假设之否与我们平常用的公理体系也是没有矛盾的，即连续统假设之否与Zermelo-Fraenkel集合论无矛盾。也就是说，在我们常用的 公理体系中，加入这个假设不会产生矛盾；加入这个假设之否，也不会产生矛盾。这显然出乎常人的意料，一个重要而又自然的 问题，竟在我们常用的公里体系里没法断定真假，就像我们生活里听到的一句话：说你行也行，说你不行也行。看上去，连续统假设似乎已经 弄明白了，但其实对这个问题的思考一直在延续，产生很多深刻的数学。Woodin的工作表明连续统假设是错的也许 更合理，当然这里面有很多的条件，这些条件说出来过于专业，这里就不说了。我们可以把连续统假设和平面几何的平行公理 比较，对平行公理的思索和研究导致了双曲几何等非欧几何的产生，Riemann几何是非欧几何的一种，是广义相对论的数学 框架，所以对简单的好问题的不断思索常常把我们带到很深刻的数学新天地。
Cohen因在连续统假设上的工作获得1966年的菲尔兹奖。他原来是分析数学的专家，在其中做出过重要贡献，于1964年获分析数学 中的Bocher奖。有一个传言说Cohen在完成了对连续统假设的工作后觉得数学中的问题只有Riemann假设值得他去研究，有点像古诗“曾经沧海难为水”所描述的那样。
Gödel对数理逻辑的贡献巨大。逻辑推理是数学的一个基础工具，在古代是哲学的一部分，对形式逻辑的系统研究应该始于 古希腊的亚里士多德，Euclid的《几何原本》是使用形式逻辑组织数学理论的典范。从古到今，哲学家和数学家一直在探索逻辑的本质和 它的方方面面，有很多人的工作非常杰出，如Leibniz、Frege、Russell等。Leibniz可能还是迄今为止最出色的符号大师，他引进了很多特别好的 符号，如微分符号d$y$，d$x$等。对数学来说，引进恰当的符号是很重要的，符号是表示内容的一种形式，形式要为内容服务，所以必须与内容 相符。如果没有很好的形式的话，很多内容是没办法恰当地表示出来的。很多时候你不要忽略形式的价值。
我们一般都相信在数学中一个陈述的真假性一定可以被证明，对逻辑本身充满了信心，对说明事情的明确性常有这样的 表达“逻辑上无懈可击”。但逻辑本身远非像常人所想的那样简单和无往不利，有时让人感到不太踏实，前面连续统假设的研究就是一个 例子，其实在此之前Gödel的两个不完备性定理给数学基础带来巨大的危机，宣告了Frege、Russell、Hilbert等人寻找对数学足够用的公理系统的努力是 不会成功的，尽管Hilbert曾经非常乐观地认为“我们必须知道，我们将会知道”（“Wir müssen wissen. Wir werden wissen”，1930）。Gödel的两个 不完备性定理可以表述如下：
定理(Gödel, 1931) 一个无矛盾的公理化理论如果包含算术公理体系，那么在这个理论中存在一个陈述句，其真假不能在这个理论中判断。
定理(Gödel, 1931) 一个公理化理论如果包含算术公理体系，当它无矛盾时，其无矛盾性不能由这个理论自身证明。
这两个定理和我们生活中的一些感受十分类似，有些事情没法说清真假（法庭上这类事情最好少发生），一个人常常无法 自证清白，需要他人的帮助才行。Gödel的不完备定理和其他工作不仅在数学上产生巨大的影响，在哲学上亦是 如此。一本有名的书《GEB——一条永恒的金带》（Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Douglas R Hofstadter, 1979）向人们展示了不完备定理、埃舍尔的绘画、巴赫的音乐之间的奇妙联系。不完备定理还 提示我们，人类认识的能力可以走到哪里在逻辑上很难找到一个确切的答案，但对这个问题的探讨，会帮助我们更进一步认知 我们的逻辑能到达的范围。数理逻辑与计算机科学有密切的关系。理论计算机科学最有名的一个问题就是P和NP问题，这个问题是克雷 数学研究所的千禧年问题之一，谁能解决这个问题就能获得一百万美元的奖金。这个问题的表述有多种，最容易明白的可能是下面这个。
P和NP 设$A$是有限集，由一些整数组成，用$S_A$表示$A$中所有数的和。问题：能否找到多项式时间的算法以确定是 否存在$A$的子集$B$使得$S_B=0$？
到目前为止数学家和理论计算机专家对这个问题还没什么办法，一部分专家倾向于答案是肯定的，更多的专家倾向于答案是 否定的，还有一部分专家倾向于这个问题可能在现有的框架下是无法确定对与错的，犹如连续统假设一样。如果P和NP的答案是 肯定的，那表明世界上现在用的密码绝大多数在理论上是容易破解的，这对很多行业如通信业、银行业等来讲是个灾难。
我们前面从数的排队讲到解方程，从计数讲到连续统假设、P和NP问题，现在我们回到解方程。二元一次和三元一次方程组是在初中学习的内容，能轻而易举地 解决一些趣味的民间数学问题，如有一百个和尚，吃一百个馒头，一个大和尚吃三个馒头，三个小和尚吃一个馒头，问共有大和尚多少人，小和尚多少人？消元法是 解线性方程组的有效方法，如果未知元很多，也是很麻烦的事情，矩阵理论应运而生。在我国古代的数学著作《九章算术》里已经开始使用矩阵解线性 方程组了，其中也出现了行列式。矩阵（matrix）这个术语是Sylvester在1850年创立的，作为系统的理论出现可能是1858年Cayley的 工作“Memoir on the theory of matrices”。想法简单朴素，就是把方程组的系数按行和列排在一起。
高等代数里有矩阵理论，你们在学习的时候肯定很喜欢对角矩阵，因为它们的计算容易，特征值一目了然。还有两类矩阵你们也会觉得好 对付，一类是特征值都是1的方阵，称为幺幂矩阵；另一类是特征值都是0的方阵，称为幂零矩阵，因为它们的某个幂是零矩阵。这三类矩阵 很简单，Jordan定理告诉我们，它们对认识一般的方阵非常有用，数学常常就是这样，用简单的对象把握复杂的对象。
定理(Jordan分解) 设$A$是方阵，则
(1)存在唯一的可对角化方阵$S$和幂零方阵$N$，使得$A=S+N$且$SN=NS$。
(2)如果$A$可逆，存在唯一的可对角化方阵$S$和特征根全为1的方阵$U$，使得$A=SU=US$。
Jordan分解在代数群和李代数中十分重要。还有一类很简单的矩阵，称为置换矩阵，它们的每一行每一列都只有一个非零元，而且那个非零元 等于1。置换矩阵与我们前面说的排队（对数而言更常用的说法是排列）密切相关。设$\sigma=i_1i_2\cdots i_n$是$12\cdots n$的一个 排列，命$\xi_\sigma=(a_{rs})_{1\le r,s\le n}$，其中 $$ a_{rs}= \left\{\begin{array}{l@{\quad}l} 1, & \hbox{如果}~s=i_r,\\ 0, & \hbox{否则}, \end{array} \right. $$ 即对每个$1\le i\le n$，矩阵$\xi_\sigma$的第$i$行仅在第$i_r$处为1，其余位置都是0。所有的置换矩阵都可以这样得到。置换矩阵在矩阵研究中也是 很有用的。
定理 $G=\displaystyle\bigcup_{\sigma\in S_n}B\xi_\sigma B$，其中$G$是$n$阶可逆方阵全体，$B$是$n$阶可逆上三角方阵全体。
这个分解称为Bruhat分解，对一般的简约代数群也成立，最早出现在Gelfand和Naimark于1950年出版的书中【I. M. Gelfand and M. A. Naimark, Unitarnye predstavleniya klassiceskih grupp, Trudy Mat. Inst. Steklov, Vol. 36, Moscow, 1950.】，Bruhat在1954年宣布这个 分解对复数域上的半单群成立【F. Bruhat, Representations induites des groupes de Lie semisimples complexes, Comptes Rendues Acad. Sci. Paris 238 (1954), 437-439.】，1955年Chevalley证明它对任意代数闭域上的简约 群成立【C. Chevalley, Sur certains groups simples, Tohoku Math. J. 7 (1955), 14-66.】，Borel和Tits在1965年考虑了任意域上的 情形【A. Borel and J. Tits, Groupes réductifs, Publ. Math. IHES 27 (1965), 55-152.】。这个分解把很多问题归结到置 换群或Weyl群的情形，对研究代数群的结构和表示都十分重要，与拓扑和代数几何中的旗流形的联系十分有意思。
假设$V$是$n$维复线性空间， 所有如下形式的子空间链： $$ 0\subset V_1\subset V_2\subset\cdots\subset V_n=V,\quad\dim V_i=i $$ 构成的集合有一个很好的几何结构，称为旗流形（flag manifold），记作$\mathcal{B}$。容易看出，$\mathcal{B}$可以等 同于$B$在$G$中的左陪集全体$G/B$。这样一来，$B$在$B\xi_\sigma B$中的左陪集全体$B\xi_\sigma B/B=\mathcal{B}_\sigma$就可以看 作是$\mathcal{B}$的子流形，称为Schubert胞腔，它同胚于一个线性空间。Schubert胞腔在旗流形中的闭包称为Schubert簇，这些簇一般都有 奇点，20世纪80年代发现这些奇点的性质和李代数的表示有出人意料的深刻联系，启示了后面很多的发展。
一个域上的$n$阶幂零方阵全体$\mathcal{N}$也构成有奇点的代数簇，看一下$n=2$的情形就能明白 这一点：$\left(\begin{array}{c@{\quad}c}a & b\\ c & d\end{array}\right)$幂零当且仅当 $$ \begin{array}{r@{\quad}r} a^2+bc=0, & ab+bd=0,\\ ca+dc=0, & cb+d^2=0. \end{array} $$ 这些方程都是二次齐性的，所以在零矩阵处的偏导数都是0，就是说没有切面，所以零矩阵是奇点。代数几何学家对奇点的解消是非常 感兴趣的。1964年广中平佑证明了复数域上的代数簇的奇点都可以解消，为此他获得1970年的菲尔兹奖。对簇$\mathcal{N}$荷兰 数学家Springer找到一个很有意思的解消，那就是旗流形的余切丛。这个解消现在称为Springer解消，其纤维称为Springer纤维，与Weyl群的 表示、Hecke代数的表示、相交上同调群等都有深刻的联系。Springer在代数群领域有很多重要的贡献，一直保持着旺盛的 研究精力，在80岁时还被邀请到国际数学家大会做45分钟报告。他风度优雅，曾在1986年访问过中国。1988年Kazhdan和Lusztig定义了 仿射Springer纤维【D. Kazhdan and G. Lusztig, Fixed point varieties on affine flag manifolds, Israel J. Math. 62 (1988), 129-168.】，被吴宝珠用于基本引理的证明，吴宝珠因为证明了基本引理获得2010年的菲尔兹奖。
前面谈了一元高次方程，也谈了多元一次方程，现在看一看不定方程。简单的应是整系数方程，一般称作丢番图方程。最常见的一个方程可能是 $$ x^2+y^2=z^2. $$ 我们知道这个方程跟圆有关系，一个有趣的问题是方程的整数解。勾股定理的一个特例勾3股4弦5给出了一个整数解。一般解的公式也很容易给出： $$ x=2uv,\quad y=u^2-v^2,\quad z=u^2+v^2, $$ 其中，$u,v$是整数。（$x$与$y$可以互换。）
自然，要考虑高次的情形，就是Fermat方程（其中$n\ge 3$） $$ x^n+y^n=z^n. $$ Fermat研究这个方程，认为没有平凡的整数解，即如果$x,y,z$是整数解，则一定有$xyz=0$。他对$n=4$的情形证明了这个结论，对一般的 情形，他在一本书的边页上写到“我找到了一个奇妙的证明，但空白太窄，无法写下”。人们以后一直尝试找到Fermat的证明，不过都 失败了。Euler则证明了$n=3$时，Fermat方程无平凡整数解。Fermat方程的研究对数论的发展影响很大，实际上，代数数论就是这样 诞生的。德国曾经为这个问题设立一个奖，十万马克。Hilbert——当时非常伟大的数学家——被人问到为什么不去解决 这个问题，他的回答很有意思：这是一个会下金蛋的鸡。现在代数数论是非常主流的分支，与代数几何、李群表示论联系密切。
Fermat方程的问题最后在1995年被Wiles解决，他证明了方程无平凡整数解。这是20世纪一项伟大的数学成就，他获得了那十万马克（时值五万美元）。Wiles年轻的时候就 很有名，在普林斯顿大学任教授。他对这个问题做了多年的探索，有一天，他感到自己能解决这个问题，潜心研究七年，终于取得成功。期间他没有 发表什么论文。这种潜心研究的情况在中国的现状与学术环境中是很难出现的。
一元高次方程、多元一次方程、一个特殊的不定方程——Fermat方程已经引出非常深刻的数学，而且很不容易，那对解一般的多项式 方程组，困难之大是显而易见的。笛卡儿的一个伟大贡献是把方程和几何联系起来。 我们有一些很简单的例子，像二元一次方程是 直线，三元一次方程是平面，二元二次方程是圆锥曲线，等等。代数几何就是研究多元多项式方程组的零点的集合对应的几何图形是什么。
代数几何方向产生过许多非常伟大的数学家，很多人因为这个方向的工作获得菲尔兹奖，如格罗登迪克、曼福德、德林、森重文等。代数几何现在 不仅自身充满活力，而且在数论、表示论、数学物理等方向都有非常深刻的应用。2010年获菲尔兹奖的工作“基本引理”的证明中代数几何是至关重要的。
我们熟悉的简单的形有线段、三角形、正方形、圆、球、环面、四面体、正方体等。这里我们首要关心的是一些几何的度量和 性质，如长度、面积、体积、曲直、弯曲程度、切线、光滑性等。
对于长度，我们通常认为： 两点之间直线距离最短。但一个几何图形两点之间一般没有直线，如地球表面的两点之间没有直线 可走。所以一般而言怎样找到两点之间最短的长度是一个复杂的问题。
求切线和加速度导致了数学里微分的概念，而求长度和面积等这些需要，产生了积分。微积分的产生改变了数学的整个面貌。后来 在Euler等人的工作下，以微积分为基础的数学领域——分析学产生了。从此，数学三分天下：代数、几何、分析，这和古代的 三国类似。三国的演变是最后魏国把其他两国给灭了，但代数、几何与分析不会如此，倒是各自发展的同时有日趋深入交叉。
一些简单的几何发现最后可以引到神奇的数学世界。对于多边形，简单地数一下，就会发现，顶点数等于它的边数。对于凸多面体，Euler发现顶点数 减去棱数加上面数等于2，比如，四面体有四个面、四个顶点、六条棱，$4-6+4=2$。这个公式常称为Euler公式，其实之前已经有人 知道，只是不公平的事经常会发生，Euler的名气大，人们就把这个公式归于他的名下了。刚才出现的数字2其实是这些凸 多面体的Euler示性数，有多种解释。先做一件简单的事情，就是把多面体的棱角给磨平，这个过程好像人进入社会中，社会会把你的 棱角磨平。这就得到一个光滑的曲面。对于任一光滑的曲面，有一个反映它弯曲程度的重要度量$\kappa$，称为Gauss曲率，还有一个面积元${\rm d}s$。对刚才通过磨平多面 体棱角得到的曲面$M$，给Gauss曲率做积分就得到2，即 $$ \dfrac{1}{2\pi}\int_M\kappa {\rm d}s=2, $$ 这是Euler公式的一个本质。对于一般的闭曲面，有类似的公式，称为Gauss-Bonnet公式， $$ \dfrac{1}{2\pi}\int_M\kappa {\rm d}s=2-2g, $$ 其中$g$是曲面的亏格。就是说Gauss曲率积分后，等于$2-2g$，这是曲面的Euler示性数。Euler示性数还可以通过上 同调群定义。对高维的流形，也有Gauss-Bonnet公式。陈省身对高维Gauss-Bonnet公式的证明是一个划时代的工作，揭开了整体微分几何的 新篇章。可能一般人难以想到，对凸多面体做的一点简单算术，背后会有那么多的高深数学。
我们看一下刚才说到的亏格，这是一个重要的几何量，在曲面的情形，直观的意义就是闭曲面所围的洞的个数，如像汽车轮胎那样的 环面，亏格就是1，因为这个曲面围了一个洞。把球面接上$n$个手柄，就得到亏格为$g$的闭曲面。本质上，这是唯一的亏格为$g$ 的可定向 闭曲面，就是说对可定向闭曲面而言，亏格可以用来分类，用数学的语言表述就是：
定理 亏格为$g$的可定向闭曲面同胚于球面接上$n$个手柄。
在曲面的情形，亏格等于零意味着是球面。球面在拓扑学中是极其重要的，$n$维的球面由下面的方程定义： $$ x_1^2+x_2^2+\cdots +x_{n+1}^2=a^2. $$ 关于球面最有名的问题是Poincaré猜想：单连通的三维闭流形同胚于三维球面。这个问题对拓扑学的发展 影响巨大，产生了三个菲尔兹奖。由于问题太难，刚开始，人们考虑高维的Poincaré猜想。在高维的情形，空间维度大，所以 工具多。1961年Smale证明了当维数为5或更大时，Poincaré猜想成立【S. Smale, Generalized Poincaré's conjecture in dimensions greater than four. Ann. of Math. (2) 74 (1961), 391-406.】，他因此获得1966年的 菲尔兹奖。1982年Freedman对四维流形证明了Poincaré猜想【M. H. Freedman, The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 3, 357-453.】，他因此四年后获得 菲尔兹奖。原本的Poincaré猜想直到2003年才由佩雷尔曼解决，他因此获得2006年的菲尔兹奖。佩雷尔曼的 方法是Ricci流，来自几何分析。这非常有意思，一个拓扑的难题，最后的解决用到的是分析的方法，这也说明不同分支的 数学之间联系的深刻。
我们已经看到，球面对于拓扑学乃至整个数学都是非常重要的。球面上的拓扑问题应该还能产生数学大奖，一个原因是同伦群的计算 远未完成，1958年Serre获得菲尔兹奖，他关于球面同伦群的工作是重要的原因。
一维的球面就是圆周，与圆周有关的是纽结，即三维空间中同胚于圆周的曲线。关于纽结，有丰富深刻的数学。Jones获得菲尔兹奖的重要工作 之一就是发现了纽结的Jones多项式【V. F. R. Jones, A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 12 (1985), no. 1, 103-111.】。后来，Witten在量子场论中的研究给Jones多项式 一个新的解释【E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial. Comm. Math. Phys. 121 (1989), no. 3, 351-399.】，令人吃惊。
我们看一下亏格等于1的曲面，拓扑上它只有一个，就是环面，代数上称为椭圆曲线，其定义的方程很简单，就是 $$ y^2=x^3+ax+b, $$ 因为是光滑的，所以有$4a^3+27b^2\ne0$。椭圆曲线是数论的中心研究对象之一，在Fermat大定理的证明中起了关键的 作用。BSD猜想断言某些$L$函数在1处的阶与椭圆曲线的有理点群的结构密切相关。这是克雷研究所的七个千禧年 问题之一，悬赏百万美元。到目前为止，七个千禧年问题只有Poincaré猜想得到解决。
我们看了很多代数方程，现在看一下微分方程。微分方程在数学里是极大的一块，在实际应用中 极其重要。有了微积分后，很多物理学中的问题就可以通过微分方程来表达。数学中也自然产生 微分方程，比如复变函数中的解析函数，它有实部和虚部，实部和虚部会满足Cauchy-Riemann条件，于是实部和虚部都满足调和方程 $$ \partial^2 \varphi/\partial x^2+\partial^2\varphi/\partial y^2 =0, $$ 也就是Laplace方程。Laplace方程看上去简单优美，其解称为调和函数，在数学和物理中都十分重要。调和函数和 解析函数的关系密切，给一个调和函数就能构造一个解析函数。
来源于物理的方程特别有意思，比如电磁学中的Maxwell方程、量子力学中的Schrödinger方程、关于 流体的Navier-Stokes方程、相对论中的Einstein方程等。这些方程自出现起就一直是研究的重点，对物理和数学的 发展起了巨大的推动作用，它们的数值解则是计算数学研究的重要内容。
我们从小学就开始学习数学，学到初中、高中、大学、研究生，学了很多的数学，但是看一下最近几届的数学家 大会报告，很可能会发现自己基本上都不明白，这让人有点失落。数学的世界丰富庞大，深不见底， 数学之路望不到 尽头。好在数学非常有魅力，学习和探索的路上充满了优美的风景，让人沉醉，流连忘返。还有一件使人愉悦的 事情是高深的数学前沿其实和我们熟悉的简单数学密切相关，更确切地说是植根于简单数学的。
编者按：本文根据作者的同名报告整理而成。
